Les suites numériques

Contenu du cours
Suites numériques
Objectifs : L’objectif de ce module est d’apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. Capacités : - Calculer un terme de rang donnée d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n. - Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; u_n ) dans le cas ou (u_n) est une suite géométrique. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques. Connaissances : - Suites géométriques de raison strictement positive : - définies par la relation u_(n+1) =q × u_n et la donnée du premier terme ; - expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; - sens de variation. - Somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Prérequis : Suites numériques- suites arithmétiques. Opérations sur les fractions- Pourcentage – Taux d’évolution.
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Les suites numériques
Les suites arithmétiques
Les suites géométriques
Statistiques à deux variables
Ce module propose une découverte progressive et concrète de l’ajustement d’un nuage de points dans une série statistique à deux variables. À partir de situations issues du monde professionnel, économique ou social, les élèves apprennent à analyser des données réelles et à modéliser la relation entre deux grandeurs. L’objectif est de comprendre comment représenter un nuage de points, choisir un modèle d’ajustement pertinent (souvent une droite), et utiliser cet ajustement pour prévoir, interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. Les outils numériques — tableur, calculatrice ou applications en ligne — occupent une place centrale dans les activités proposées. Compétence principale visée Analyser et modéliser une relation entre deux variables à partir d’un nuage de points, en utilisant des outils numériques pour choisir un ajustement pertinent et effectuer des prévisions. Compétences travaillées 🔹 Représenter et interpréter un nuage de points • Lire et comprendre une série statistique à deux variables. • Placer correctement les points dans un repère. • Identifier visuellement une tendance (croissante, décroissante, linéaire, non linéaire). 🔹 Choisir un modèle d’ajustement adapté • Utiliser un tableur ou une application numérique pour tester différents modèles (affine, exponentiel, etc.). • Sélectionner le modèle le plus pertinent en fonction de la forme du nuage. • Justifier le choix du modèle retenu. Déterminer et exploiter une équation d’ajustement • Obtenir l’équation d’une droite ou d’une courbe d’ajustement à l’aide d’un outil numérique. • Lire et interpréter les paramètres du modèle (pente, ordonnée à l’origine…). • Utiliser l’ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs. Évaluer la qualité d’un ajustement • Observer la dispersion des points autour du modèle. • Comprendre l’intérêt d’un indicateur comme le coefficient de détermination (sans exigence théorique poussée). • Vérifier si l’ajustement est cohérent avec la situation étudiée. 📘 Connaissances mobilisées • Série statistique à deux variables quantitatives • Nuage de points • Modèles d’ajustement (principalement affine) • Interpolation et extrapolation 📚 Prérequis • Proportionnalité, pourcentages, règle de trois • Résolution d’équations simples • Utilisation d’un tableur ou d’outils numériques courants
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Ajuster un nuage de points
Mathématiques – BAC Pro Terminal

Les suites numériques

1. Définition  

Une suite numérique $$(u_n)$$ est une fonction est une fonction de ℕ (ou une partie de ℕ ) dans  ℝ.
$$u:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\quad n\mapsto u_n$$
C.à.d. une fonction qui à tout entier naturel n associe un réel, noté $$u_n$$.

2. Vocabulaire

  • n : est le rang ou l’indice
  • $$u_n$$ : est le terme de rang n
  • $$(u_n)$$ :désigne la suite alors que $$u_n$$ est un nombre.
  • Le terme par lequel commence la suite s’appelle le premier terme ou le terme initial.
  • Les réels $$u_0$$ , $$u_1$$, $$u_2$$, … $$u_n$$ sont les termes consécutifs de la suite.

3. Définir une suite (Déterminer une suite)

    Déterminer une suite, c’est se donner les moyens de calculer ses termes.

    Une suite numérique peut être déterminée :

    A l’aide d’une formule explicite (forme explicite) :

Une suite $$(u_n )$$ est dite explicite s’il est possible de calculer directement à partir de n.

$$u_n$$ =f(n)

Exemple :

$$u_n$$=$$\frac{2n+3}{n+1}$$ définie sur ℕ

Les termes de la suite $$(u_n)$$ définies sur ℕ par

$$u_n$$ =f(n)= $$\frac{2n+3}{n+1}$$ sont:

 $$u_0$$ = 3; $$u_1$$ = $$\frac{5}{2}$$; $$u_2$$ = $$\frac{7}{3}$$ etc…

     A l’aide d’une relation de récurrence (forme récurrente)

Une suite est définie par récurrence si elle est définie par

    • Son premier terme
    • D’une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant.

Le terme $$u_{n+1}$$ peut être défini à partir de $$u_n$$ :

$$u_{n+1}$$=f$$(u_n)$$ avec f une fonction définie le plus souvent sur ℝ.

Exemple :

Les termes de la suite $$(u_n)$$ définie par :

    $$u_0=1$$, $$\quad$$

    $$u_{n+1}$$=3$$u_n+1$$, pour tout n appartenant à ℕ sont : 

$$u_0$$ = 1;  $$u_1$$ = 3$$u_0+1$$ = 4 ; $$u_2$$ = 3$$u_1+1$$ = 13; etc…

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