Les suites géométriques

Contenu du cours
Suites numériques
Objectifs : L’objectif de ce module est d’apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. Capacités : - Calculer un terme de rang donnée d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n. - Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; u_n ) dans le cas ou (u_n) est une suite géométrique. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques. Connaissances : - Suites géométriques de raison strictement positive : - définies par la relation u_(n+1) =q × u_n et la donnée du premier terme ; - expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; - sens de variation. - Somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Prérequis : Suites numériques- suites arithmétiques. Opérations sur les fractions- Pourcentage – Taux d’évolution.
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Les suites numériques
Les suites arithmétiques
Les suites géométriques
Mathématiques – BAC Pro Terminal

Les suites géométriques

1. Définition

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précèdent par une constante q appelée raison.

Pour tout entier naturel n,  $$u_{n+1}$$ = q$$u_n$$

(En Bacc Pro, on prend q > 0)

Pour savoir si une suite $$(u_n)$$ est géométrique, il suffit de montrer que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ est une constante. Cette constante est la raison q.

Exemples :

  • 1 , 2 , 4 , 8, 16,… est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 2.
  • La suite $$( u_n)$$ définie par $$u_n$$=  $$3^n$$ est géométrique car $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ =$$\frac{3^{n+1}}{3^n}$$ = 3 = constante.

 

2. Formules essentielles

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_0$$ et de raison q

$$u_n$$ =$$u_0$$ × $$q^n$$, pour tout entier naturel n de $$\mathbb{N}$$

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_1$$ et de raison q

$$u_n$$=$$u_1$$ × $$q^{n-1}$$, pour tout entier naturel n de  $$\mathbb{N}^*$$       

Exemples:

  • Soit $$(u_n)$$ la suite géométrique de premier terme $$u_0$$ = 500 et de raison q = 1,1.

$$u_4$$ = $$u_0$$ × $$q^4$$; $$u_4$$ = 500 × $$1,1^4$$= 732,05.

  • Soit $$(v_n)$$ la suite géométrique de premier terme $$v_0$$ = 100 et de raison q = 0,8

$$v_5$$ = $$v_1$$ × $$q^4$$ ; $$v_5$$ = 100 × $$0,8^4$$ = 40,96.

3. Somme de termes consécutifs

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_0$$  et de raison q 

S=$$u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$ avec q ≠0.

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_1$$  et de raison q 

S=$$u_1\frac{q^n-1}{q-1}$$ avec q ≠0.

  • Si q = 1 , alors tous les termes sont égaux entre eux

          S =  $$u_1$$+$$u_1$$  +…+ $$u_1$$ = n ×  $$u_1$$     

3. Variation selon q

  • Premier terme > 0

    • Si 0 < q <1 , alors la suite géométrique est décroissante.

    • Si q =1, alors la suite géométrique est constante

    • Si q > 1, alors alors la suite géométrique est croissante

  • Premier terme < 0

    • Si 0 < q <1 , alors la suite géométrique est croissante
    • Si q =1, alors la suite géométrique est constante
    • Si q > 1, alors alors la suite géométrique est décroissante

4. Applications : pourcentages

  • Augmentation de x % :

Chaque fois qu’on est confronté a une situation du type « une population, un prix, une concentration…, augmenter de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison 1+$$\frac{x}{100}$$

q = 1+$$\frac{x}{100}$$

  • Diminution de x % :

S’il s’agit d’une diminution de x % , on peut définir une suite géométrique de raison 1−$$\frac{x}{100}$$

q = 1−$$\frac{x}{100}$$

 

 

 

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