Les suites numériques

1. Définition

Une suite numérique $$(u_n)$$ est une fonction est une fonction de ℕ (ou une partie de ℕ ) dans ℝ.
$$u:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$$

$$\quad n\mapsto u_n$$
C.à.d. une fonction qui à tout entier naturel n associe un réel, noté $$u_n$$.

n : est le rang ou l’indice
$$u_n$$ : est le terme de rang n
$$(u_n)$$ :désigne la suite alors que $$u_n$$ est un nombre.
Le terme par lequel commence la suite s’appelle le premier terme ou le terme initial.
Les réels $$u_0$$ , $$u_1$$, $$u_2$$, … $$u_n$$ sont les termes consécutifs de la suite.

Déterminer une suite, c’est se donner les moyens de calculer ses termes.

Une suite numérique peut être déterminée :

Une suite $$(u_n )$$ est dite explicite s’il est possible de calculer directement à partir de n.

$$u_n$$ =f(n)

Exemple :

$$u_n$$=$$\frac{2n+3}{n+1}$$ définie sur ℕ

Les termes de la suite $$(u_n)$$ définies sur ℕ par

$$u_n$$ =f(n)= $$\frac{2n+3}{n+1}$$ sont:

$$u_0$$ = 3; $$u_1$$ = $$\frac{5}{2}$$; $$u_2$$ = $$\frac{7}{3}$$ etc…

Une suite est définie par récurrence si elle est définie par

- Son premier terme
- D’une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant.

Le terme $$u_{n+1}$$ peut être défini à partir de $$u_n$$ :

$$u_{n+1}$$=f$$(u_n)$$ avec f une fonction définie le plus souvent sur ℝ.

Exemple :

Les termes de la suite $$(u_n)$$ définie par :

$$u_0=1$$, $$\quad$$

$$u_{n+1}$$=3$$u_n+1$$, pour tout n appartenant à ℕ sont :

$$u_0$$ = 1; $$u_1$$ = 3$$u_0+1$$ = 4 ; $$u_2$$ = 3$$u_1+1$$ = 13; etc…