Les suites arithmétiques

Contenu du cours
Suites numériques
Objectifs : L’objectif de ce module est d’apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. Capacités : - Calculer un terme de rang donnée d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n. - Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; u_n ) dans le cas ou (u_n) est une suite géométrique. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques. Connaissances : - Suites géométriques de raison strictement positive : - définies par la relation u_(n+1) =q × u_n et la donnée du premier terme ; - expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; - sens de variation. - Somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Prérequis : Suites numériques- suites arithmétiques. Opérations sur les fractions- Pourcentage – Taux d’évolution.
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Les suites numériques
Les suites arithmétiques
Les suites géométriques
Mathématiques – BAC Pro Terminal

Les suites arithmétiques

1.Définition  

  • Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

$$(u_n)$$ est arithmétique si :
$$u_{n+1}$$ = $$u_n$$ + r pour tout entier naturel n.

  • Pour savoir si une suite $$(u_n)$$ est arithmétique, il suffit de montrer que $$u_{n+1}$$ − $$u_n$$  est une constante. Cette constante est la raison r.

Exemples :

  • La suite $$(u_n)$$ des entiers naturels impairs 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … est une suite arithmétique de premier terme $$u_0$$ = 1 et de raison r = 2.

 

  • La suite $$(v_n)$$ définie par $$v_n$$=2n + 1 est une suite arithmétique car :

$$v_0$$ = 1; $$v_1$$= 3; $$v_2$$=5; $$v_3$$= 7 .

$$v_1$$ − $$v_0$$ = $$v_2$$ − $$v_1$$ = $$v_3$$ − $$v_2$$ = 2

 

2.Sens de variation et représentation graphique

  •      Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de raison r :
    • si r > 0 , alors la suite est strictement croissante.
    • si r < 0 , alors la suite est strictement décroissante.
    • si r = 0, alors tous les termes sont égaux au premier ; la suite est constante.
  • La représentation graphique d’une suite arithmétique $$(u_n)$$ dans un repère du plan est constituée de points de coordonnées (n ; $$u_n$$ ) alignés sur la droite d équation y = rx +$$u_0$$.

Exemples :

    • La suite arithmétique 7 ;12 ;17 ; 22 ; …est strictement croissante car r = 5  (r > 0).

    • La suite arithmétique 5 ; 2 ; −1 ; − 4; … est strictement décroissante car r = − 3  (r < 0).

 

3. Formules essentielles

  • Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de premier terme $$u_0$$ et de raison r.

$$u_n$$ = $$u_0$$ + nr, pour tout entier naturel n.

  • Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de premier terme $$u_1$$ et de raison r.

$$u_n$$ = $$u_1$$+(n − 1)r, pour tout entier naturel n.

4. Somme des terme

  • Pour une suite arithmétique de premier terme $$u_0$$ et de raison r :

S = $$u_0$$ + $$u_1$$ + …+ $$u_n$$ = $$(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$$

  • Pour une suite arithmétique de premier terme $$u_1$$ et de raison r :

S=$$u_1$$ + $$u_2$$ + …+ $$u_n$$ = $$n\frac{u_1+u_n}{2}$$

pour tout entier naturel n de  $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$

$${N}^*$$  est l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.

Somme des n premiers termes = $$(nombre de termes)\frac{premier terme + dernier terme}{2}$$

Exemples :

  • 1 + 2 + 3 +…+ n = $$(n)\frac{1 + n}{2}$$ car c’est la somme des n termes consécutifs d’une suite arithmétique $$(u_n)$$  telle que

$$u_1$$ = 1, $$u_n$$ = n et r = 1

 

  • Si $$(u_n)$$ est une suite arithmétique de premier terme  $$u_0$$ = 500 et de raison r =  25

On note  S =   $$u_0$$+ $$u_1$$ + $$u_2$$ +$$u_3$$ +$$u_4$$ + $$u_5$$ + $$u_6$$+$$u_7$$+$$u_8$$ +$$u_9$$.

$$u_9$$ = $$u_0$$+ nr

$$u_9$$ = 500 + 9 x 25 =500 + 225 = 725

Donc :

S = $$10\frac{u_0 + u_9}{2}$$

S = $$10\frac{500 + 725}{2}$$

S = 6 125

 

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