Les suites arithmétiques

Contenu du cours
Suites numériques
Objectifs : L’objectif de ce module est d’apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. Capacités : - Calculer un terme de rang donnée d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n. - Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; u_n ) dans le cas ou (u_n) est une suite géométrique. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques. Connaissances : - Suites géométriques de raison strictement positive : - définies par la relation u_(n+1) =q × u_n et la donnée du premier terme ; - expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; - sens de variation. - Somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Prérequis : Suites numériques- suites arithmétiques. Opérations sur les fractions- Pourcentage – Taux d’évolution.
0/3
Les suites numériques
Les suites arithmétiques
Les suites géométriques
Statistiques à deux variables
Ce module propose une découverte progressive et concrète de l’ajustement d’un nuage de points dans une série statistique à deux variables. À partir de situations issues du monde professionnel, économique ou social, les élèves apprennent à analyser des données réelles et à modéliser la relation entre deux grandeurs. L’objectif est de comprendre comment représenter un nuage de points, choisir un modèle d’ajustement pertinent (souvent une droite), et utiliser cet ajustement pour prévoir, interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. Les outils numériques — tableur, calculatrice ou applications en ligne — occupent une place centrale dans les activités proposées. Compétence principale visée Analyser et modéliser une relation entre deux variables à partir d’un nuage de points, en utilisant des outils numériques pour choisir un ajustement pertinent et effectuer des prévisions. Compétences travaillées 🔹 Représenter et interpréter un nuage de points • Lire et comprendre une série statistique à deux variables. • Placer correctement les points dans un repère. • Identifier visuellement une tendance (croissante, décroissante, linéaire, non linéaire). 🔹 Choisir un modèle d’ajustement adapté • Utiliser un tableur ou une application numérique pour tester différents modèles (affine, exponentiel, etc.). • Sélectionner le modèle le plus pertinent en fonction de la forme du nuage. • Justifier le choix du modèle retenu. Déterminer et exploiter une équation d’ajustement • Obtenir l’équation d’une droite ou d’une courbe d’ajustement à l’aide d’un outil numérique. • Lire et interpréter les paramètres du modèle (pente, ordonnée à l’origine…). • Utiliser l’ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs. Évaluer la qualité d’un ajustement • Observer la dispersion des points autour du modèle. • Comprendre l’intérêt d’un indicateur comme le coefficient de détermination (sans exigence théorique poussée). • Vérifier si l’ajustement est cohérent avec la situation étudiée. 📘 Connaissances mobilisées • Série statistique à deux variables quantitatives • Nuage de points • Modèles d’ajustement (principalement affine) • Interpolation et extrapolation 📚 Prérequis • Proportionnalité, pourcentages, règle de trois • Résolution d’équations simples • Utilisation d’un tableur ou d’outils numériques courants
0/1
Ajuster un nuage de points
Mathématiques – BAC Pro Terminal

Les suites arithmétiques

1.Définition  

  • Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

$$(u_n)$$ est arithmétique si :
$$u_{n+1}$$ = $$u_n$$ + r pour tout entier naturel n.

  • Pour savoir si une suite $$(u_n)$$ est arithmétique, il suffit de montrer que $$u_{n+1}$$ − $$u_n$$  est une constante. Cette constante est la raison r.

Exemples :

  • La suite $$(u_n)$$ des entiers naturels impairs 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … est une suite arithmétique de premier terme $$u_0$$ = 1 et de raison r = 2.

 

  • La suite $$(v_n)$$ définie par $$v_n$$=2n + 1 est une suite arithmétique car :

$$v_0$$ = 1; $$v_1$$= 3; $$v_2$$=5; $$v_3$$= 7 .

$$v_1$$ − $$v_0$$ = $$v_2$$ − $$v_1$$ = $$v_3$$ − $$v_2$$ = 2

 

2.Sens de variation et représentation graphique

  •      Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de raison r :
    • si r > 0 , alors la suite est strictement croissante.
    • si r < 0 , alors la suite est strictement décroissante.
    • si r = 0, alors tous les termes sont égaux au premier ; la suite est constante.
  • La représentation graphique d’une suite arithmétique $$(u_n)$$ dans un repère du plan est constituée de points de coordonnées (n ; $$u_n$$ ) alignés sur la droite d équation y = rx +$$u_0$$.

Exemples :

    • La suite arithmétique 7 ;12 ;17 ; 22 ; …est strictement croissante car r = 5  (r > 0).

    • La suite arithmétique 5 ; 2 ; −1 ; − 4; … est strictement décroissante car r = − 3  (r < 0).

 

3. Formules essentielles

  • Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de premier terme $$u_0$$ et de raison r.

$$u_n$$ = $$u_0$$ + nr, pour tout entier naturel n.

  • Pour une suite arithmétique $$(u_n)$$ de premier terme $$u_1$$ et de raison r.

$$u_n$$ = $$u_1$$+(n − 1)r, pour tout entier naturel n.

4. Somme des terme

  • Pour une suite arithmétique de premier terme $$u_0$$ et de raison r :

S = $$u_0$$ + $$u_1$$ + …+ $$u_n$$ = $$(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$$

  • Pour une suite arithmétique de premier terme $$u_1$$ et de raison r :

S=$$u_1$$ + $$u_2$$ + …+ $$u_n$$ = $$n\frac{u_1+u_n}{2}$$

pour tout entier naturel n de  $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$

$${N}^*$$  est l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.

Somme des n premiers termes = $$(nombre de termes)\frac{premier terme + dernier terme}{2}$$

Exemples :

  • 1 + 2 + 3 +…+ n = $$(n)\frac{1 + n}{2}$$ car c’est la somme des n termes consécutifs d’une suite arithmétique $$(u_n)$$  telle que

$$u_1$$ = 1, $$u_n$$ = n et r = 1

 

  • Si $$(u_n)$$ est une suite arithmétique de premier terme  $$u_0$$ = 500 et de raison r =  25

On note  S =   $$u_0$$+ $$u_1$$ + $$u_2$$ +$$u_3$$ +$$u_4$$ + $$u_5$$ + $$u_6$$+$$u_7$$+$$u_8$$ +$$u_9$$.

$$u_9$$ = $$u_0$$+ nr

$$u_9$$ = 500 + 9 x 25 =500 + 225 = 725

Donc :

S = $$10\frac{u_0 + u_9}{2}$$

S = $$10\frac{500 + 725}{2}$$

S = 6 125

 

Précédent
Suivant