Les suites géométriques

Contenu du cours
Suites numériques
Objectifs : L’objectif de ce module est d’apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. Capacités : - Calculer un terme de rang donnée d’une suite géométrique définie par son premier terme et par une relation de récurrence ou par l’expression du terme de rang n. - Réaliser et exploiter une représentation graphique du nuage de points (n ; u_n ) dans le cas ou (u_n) est une suite géométrique. - Calculer la somme des n premiers termes d’une suite géométrique avec ou sans outils numériques. Connaissances : - Suites géométriques de raison strictement positive : - définies par la relation u_(n+1) =q × u_n et la donnée du premier terme ; - expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; - sens de variation. - Somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Prérequis : Suites numériques- suites arithmétiques. Opérations sur les fractions- Pourcentage – Taux d’évolution.
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Les suites numériques
Les suites arithmétiques
Les suites géométriques
Statistiques à deux variables
Ce module propose une découverte progressive et concrète de l’ajustement d’un nuage de points dans une série statistique à deux variables. À partir de situations issues du monde professionnel, économique ou social, les élèves apprennent à analyser des données réelles et à modéliser la relation entre deux grandeurs. L’objectif est de comprendre comment représenter un nuage de points, choisir un modèle d’ajustement pertinent (souvent une droite), et utiliser cet ajustement pour prévoir, interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. Les outils numériques — tableur, calculatrice ou applications en ligne — occupent une place centrale dans les activités proposées. Compétence principale visée Analyser et modéliser une relation entre deux variables à partir d’un nuage de points, en utilisant des outils numériques pour choisir un ajustement pertinent et effectuer des prévisions. Compétences travaillées 🔹 Représenter et interpréter un nuage de points • Lire et comprendre une série statistique à deux variables. • Placer correctement les points dans un repère. • Identifier visuellement une tendance (croissante, décroissante, linéaire, non linéaire). 🔹 Choisir un modèle d’ajustement adapté • Utiliser un tableur ou une application numérique pour tester différents modèles (affine, exponentiel, etc.). • Sélectionner le modèle le plus pertinent en fonction de la forme du nuage. • Justifier le choix du modèle retenu. Déterminer et exploiter une équation d’ajustement • Obtenir l’équation d’une droite ou d’une courbe d’ajustement à l’aide d’un outil numérique. • Lire et interpréter les paramètres du modèle (pente, ordonnée à l’origine…). • Utiliser l’ajustement pour interpoler ou extrapoler des valeurs. Évaluer la qualité d’un ajustement • Observer la dispersion des points autour du modèle. • Comprendre l’intérêt d’un indicateur comme le coefficient de détermination (sans exigence théorique poussée). • Vérifier si l’ajustement est cohérent avec la situation étudiée. 📘 Connaissances mobilisées • Série statistique à deux variables quantitatives • Nuage de points • Modèles d’ajustement (principalement affine) • Interpolation et extrapolation 📚 Prérequis • Proportionnalité, pourcentages, règle de trois • Résolution d’équations simples • Utilisation d’un tableur ou d’outils numériques courants
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Ajuster un nuage de points
Mathématiques – BAC Pro Terminal

Les suites géométriques

1. Définition

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précèdent par une constante q appelée raison.

Pour tout entier naturel n,  $$u_{n+1}$$ = q$$u_n$$

(En Bacc Pro, on prend q > 0)

Pour savoir si une suite $$(u_n)$$ est géométrique, il suffit de montrer que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ est une constante. Cette constante est la raison q.

Exemples :

  • 1 , 2 , 4 , 8, 16,… est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 2.
  • La suite $$( u_n)$$ définie par $$u_n$$=  $$3^n$$ est géométrique car $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ =$$\frac{3^{n+1}}{3^n}$$ = 3 = constante.

 

2. Formules essentielles

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_0$$ et de raison q

$$u_n$$ =$$u_0$$ × $$q^n$$, pour tout entier naturel n de $$\mathbb{N}$$

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_1$$ et de raison q

$$u_n$$=$$u_1$$ × $$q^{n-1}$$, pour tout entier naturel n de  $$\mathbb{N}^*$$       

Exemples:

  • Soit $$(u_n)$$ la suite géométrique de premier terme $$u_0$$ = 500 et de raison q = 1,1.

$$u_4$$ = $$u_0$$ × $$q^4$$; $$u_4$$ = 500 × $$1,1^4$$= 732,05.

  • Soit $$(v_n)$$ la suite géométrique de premier terme $$v_0$$ = 100 et de raison q = 0,8

$$v_5$$ = $$v_1$$ × $$q^4$$ ; $$v_5$$ = 100 × $$0,8^4$$ = 40,96.

3. Somme de termes consécutifs

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_0$$  et de raison q 

S=$$u_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$$ avec q ≠0.

  • Pour une suite géométrique de premier terme $$u_1$$  et de raison q 

S=$$u_1\frac{q^n-1}{q-1}$$ avec q ≠0.

  • Si q = 1 , alors tous les termes sont égaux entre eux

          S =  $$u_1$$+$$u_1$$  +…+ $$u_1$$ = n ×  $$u_1$$     

3. Variation selon q

  • Premier terme > 0

    • Si 0 < q <1 , alors la suite géométrique est décroissante.

    • Si q =1, alors la suite géométrique est constante

    • Si q > 1, alors alors la suite géométrique est croissante

  • Premier terme < 0

    • Si 0 < q <1 , alors la suite géométrique est croissante
    • Si q =1, alors la suite géométrique est constante
    • Si q > 1, alors alors la suite géométrique est décroissante

4. Applications : pourcentages

  • Augmentation de x % :

Chaque fois qu’on est confronté a une situation du type « une population, un prix, une concentration…, augmenter de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison 1+$$\frac{x}{100}$$

q = 1+$$\frac{x}{100}$$

  • Diminution de x % :

S’il s’agit d’une diminution de x % , on peut définir une suite géométrique de raison 1−$$\frac{x}{100}$$

q = 1−$$\frac{x}{100}$$

 

 

 

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